马尔可夫决策过程

马尔可夫决策过程与策略价值分析 | 强化学习基础

分类：自动推断
标签：马尔可夫决策过程, 强化学习, 策略价值
日期：2025年4月7日

🚀 核心观点

马尔可夫决策过程（MDP）是强化学习中用于抽象实际问题的基础结构。MDP由五元组 $$(S, A, P, r, \gamma)$$ 构成，其中包含状态集合、动作集合、状态转移函数、即时奖励函数和折扣因子。策略（Policy）是智能体在不同状态下采取动作的概率分布，分为确定性策略和随机性策略。状态价值函数和动作价值函数用于衡量策略的优劣。

📊 重点段落

状态价值函数

状态价值函数 $$V_\pi(s)$$ 表示在状态 $$s$$ 下，遵循策略 $$\pi$$ 的期望收益。公式为：

V_{π} (s) = E_{π} [G_{t} ∣ S_{t} = s] = E_{π} [R_{t} + γ V_{π} (S_{t + 1}) ∣ S_{t} = s]

动作价值函数

动作价值函数 $$Q_\pi(s, a)$$ 表示在状态 $$s$$ 下执行动作 $$a$$ 时的期望回报：

Q_{π} (s, a) = E_{π} [G_{t} ∣ S_{t} = s, A_{t} = a] = E_{π} [R_{t} + γ Q_{π} (S_{t + 1}, A_{t + 1}) ∣ S_{t} = s, A_{t} = a]

策略与价值函数的关系

状态价值函数与动作价值函数的关系如下：

V_{π} (s) = \sum_{a \in A} π (a ∣ s) Q_{π} (s, a)

Q_{π} (s, a) = r (s, a) + γ \sum_{s^{'} \in S} P (s^{'} ∣ s, a) V_{π} (s^{'})

✅ 操作步骤

定义问题：将实际问题抽象为MDP。
选择策略：根据问题选择合适的策略（确定性或随机性）。
计算价值函数：使用状态或动作价值函数评估策略。
优化策略：调整策略以最大化期望回报。

⚠ 常见错误

忽视折扣因子 $$\gamma$$ 对长期收益的影响。
在随机性策略中误解概率分布的意义。

💡 启发点

确定性策略和随机性策略的选择对强化学习结果有何影响？
如何在复杂环境中有效计算状态和动作价值？

📈 趋势预测

随着计算能力的提升，强化学习在自动驾驶、金融预测等领域将得到更广泛应用，MDP模型将更为复杂和精确。

[思考] 板块

如何在多智能体环境中应用MDP？
在动态环境中，如何实时调整策略以适应变化？
是否有可能开发出通用的策略优化算法？

原始出处：马尔可夫决策过程

行动清单

研究不同环境下的MDP建模方法。
实践编写简单的MDP模型以加深理解。
探索强化学习在新兴领域的应用潜力。

后续追踪

进一步研究多智能体系统中的MDP应用。
开发实时策略调整算法以应对动态环境。